Matematika

Relasi dan Fungsi

Relasi

• Definisi: Hubungan antara anggota-anggota dua himpunan atau lebih.
• Contoh:
  • “Adalah kakak dari” adalah relasi antara himpunan orang.
  • ”Lebih besar dari” adalah relasi antara himpunan bilangan.
• Cara menyatakan relasi:
  • Diagram panah
  • Himpunan pasangan berurutan
  • Grafik Cartesius
  • Matriks

Fungsi

• Definisi: Relasi khusus di mana setiap anggota himpunan pertama (domain) dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan kedua (kodomain).
• Notasi: f: A → B
  • f: Nama fungsi
  • A: Domain (daerah asal)
  • B: Kodomain (daerah kawan)
• Contoh:
  • f(x) = 2x + 1 adalah fungsi linear.
• Elemen-elemen fungsi:
  • Domain: Himpunan semua nilai x yang mungkin.
  • Kodomain: Himpunan semua nilai y yang mungkin.
  • Range: Himpunan semua nilai y yang tercapai.

Operasi pada Fungsi

• Notasi
  • Penjumlahan fungsi: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • Pengurangan fungsi: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
  • Perkalian fungsi: (f * g)(x) = f(x) * g(x)
  • Pembagian fungsi: (f / g)(x)1 = f(x) / g(x) dengan syarat g(x) ≠ 0
• Contoh
  • Penjumlahan: (f + g)(x) = (x + 3) + (2x) = 3x + 3
  • Pengurangan: (f - g)(x) = (x + 3) - (2x) = -x + 3
  • Perkalian: (f * g)(x) = (x + 3)(2x) = 2x² + 6x
  • Pembagian: (f / g)(x) = (x + 3) / (2x) dengan syarat x ≠ 0

Fungsi Komposisi

• Definisi: Hasil dari menggabungkan dua atau lebih fungsi.
• Notasi: (f o g)(x) = f(g(x))
  • Fungsi g diterapkan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijadikan input untuk fungsi f.

Fungsi Invers

• Definisi: Fungsi yang “membalik” fungsi asli.
• Notasi: f⁻¹(x)
• Syarat: Fungsi harus bersifat bijektif.
• Sifat: f⁻¹(f(x)) = x dan f(f⁻¹(x)) = x

Ringkasan dalam Tabel

Konsep	Definisi	Notasi	Contoh
Relasi	Hubungan antara anggota himpunan	Diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dll	”Adalah saudara dari”
Fungsi	Relasi khusus dengan pemetaan satu-satu	f: A → B	f(x) = 2x + 1
Operasi fungsi	Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian	(f + g)(x), (f - g)(x), dll	(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Fungsi komposisi	Gabungan dua atau lebih fungsi	(f o g)(x)	(f o g)(x) = f(g(x))
Fungsi invers	Fungsi yang membalik fungsi asli	f⁻¹(x)	f⁻¹(f(x)) = x

Matriks

Lingkaran

Definisi

Lingkaran adalah bentuk geometri dua dimensi yang terdiri dari semua titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap yang disebut pusat. Garis lurus yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik mana pun pada lingkaran disebut jari-jari. Dua kali panjang jari-jari disebut diameter.

Unsur-unsur

• Tali busur: Garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
• Busur: Bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran.
• Juring: Daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur yang diapit oleh kedua jari-jari tersebut.
• Tembereng: Daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur.
• Apotema: Garis lurus yang ditarik dari pusat lingkaran tegak lurus ke tali busur.

Rumus-rumus Penting

Rumus	Keterangan
Keliling Lingkaran (K)	K = 2πr K = πd
Luas Lingkaran (L)	L = πr²
Panjang Busur (PB)	PB = (α/360) x 2πr
Luas Juring (LJ)	LJ = (α/360) x πr²
Luas Tembereng	LJ - Luas Segitiga

Penjelasan Singkat:

• Keliling Lingkaran: Panjang seluruh garis lengkung yang membentuk lingkaran.
• Luas Lingkaran: Luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran.
• Panjang Busur: Panjang bagian dari keliling lingkaran.
• Luas Juring: Luas daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur.
• Luas Tembereng: Luas daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur.